Question

2．如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A=∠PDB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BD=BP=2$\sqrt{3}$，求图中曲边三角形（阴影部分）的周长；
（3）如图2，点M是$\widehat{AB}$的中点，连接DM，交AB于点N，若tan∠A=$\frac{1}{2}$，求$\frac{DN}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线；要证明PD是⊙O的切线，只要证明∠PDO=90°，运用切线的判定定理，即可解决问题．
（2）如图2，直接求出$\frac{DN}{MN}$的值，非常困难；因此，需要作辅助线，构造相似三角形；运用已知条件tan∠A=$\frac{1}{2}$，结合图形，联想勾股定理，设出参数（BD=x），求出AB的长度；进而求出DF的长度；运用△OMN∽△FDN，得到$\frac{DN}{MN}=\frac{DF}{OM}$，即可解决问题．

解答 解：（1）连结OD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；
又∵OA=OB=OD，
∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；
又∵∠A=∠PDB，
∴∠PDB+∠BD0=90°，
即∠PDO=90°，且D在圆上，
∴PD是⊙O的切线．
（2）∵BD=BP，
∴∠BDP=∠BPD；而∠ODP=90°，
∴∠ODB=∠DOB，
∴BD=BO=OD，△OBD为等边三角形，
∴∠DOB=60°，∠DBC=30°；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，而∠DBC=30°，
∴tan30°=$\frac{DC}{BD}$，cos30°=$\frac{BD}{BC}$，而BD=2$\sqrt{3}$，
∴DC=2，BC=4；
∵$\widehat{BD}$=$\frac{60π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$，
∴曲边三角形（阴影部分）的周长为：6+$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$．
（3）连结OM，过D作DF⊥AB于F；
∵点M是$\widehat{AB}$ 的中点，
∴OM⊥AB；设BD=x，
∵tan∠A=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2x；由勾股定理得：
AB=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}x$；由三角形的面积公式得：$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$AB•DF，
∴DF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$；
∵OM∥DF，
∴△OMN∽△FDN，
∴$\frac{DN}{MN}=\frac{DF}{OM}$，DF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$，OM=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∴$\frac{DN}{MN}=\frac{4}{5}$．

点评 该题以圆为载体，以考查切线的判定、等边三角形的判定及其性质、弧长公式、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用为核心构造而成；解题的方法是深入观察图形，数形结合，准确找出图形中隐含的相等或相似关系；解题的关键是牢固掌握等边三角形的判定及其性质、弧长公式、勾股定理等几何知识点．