【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,连接AD、BD。
(1)求证:∠ADB=∠E;
(2)当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由AB=AC,可证∠ABC=∠C;由平行线的性质知∠ABC=∠E,结合圆周角定理可证结论成立;
(2)可通过构建直角三角形来求解,连接BO、AO,并延长AO交BC于点F,根据垂径定理BF=CF,AF=r+OF,那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF,OB,然后根据勾股定理求出半径的长.
解:(1)在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠E,
∴∠E=∠C.
又∵∠ADB=∠C,
∴∠ADB=∠E;
(2)连线BO、AO,并延长AO交BC于点F,则AF⊥BC,且BF=CF=3,
又∵AB=5,
∴AF==4。
设⊙O的半径为r,在Rt△OBF中,OF=4-r,OB=r,BF=3,
∴r2=32+(4-r)2,
解得r=,
∴⊙O的半径是.
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【题目】如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?
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【题目】甲、乙两名同学分别进行6次射击训练,训练成绩(单位:环)如下表 对他们的训练成绩作如下分析,其中说法正确的是( )
A. 他们训练成绩的平均数相同
B. 他们训练成绩的中位数不同
C. 他们训练成绩的方差不同
D. 他们训练成绩的众数不同
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是弧AE的中点,过点C作GC∥AE交BA的延长线于点G,过点C作CD⊥AB于点D,交AE于点F.
(1)判断GC与⊙O的位置关系,并证明.
(2)若sin∠EAB =,OD=,求AE的长.
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【题目】阅读材料:
“三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”(苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件)
问题初探:
(1)三角形的外心到三角形的_____________距离相等
(2)若点O是△ABC的外心,试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。
(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD,连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O,并求∠ADB的度数。(保留作图痕迹,不写作法。)
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【题目】如图,将ΔABC沿BC翻折得到ΔDBC,再将ΔDBC绕C点逆时针旋转60°得到ΔFEC,延长B D交EF于H,已知∠ABC=30°,∠BAC=90°,AC=1,则四边形CDHF的面积为( )
A. B. C. D. .
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【题目】如图,已知△ABC,
(1)按如下步骤尺规作图(保留作图痕迹):
①作AD平分∠BAC,交BC于D;
②作AD的垂直平分线MN分别交AB,AC于点E、F;
(2)连接DE、DF.若BD=12,AF=8,CD=6,求BE的长.
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