Question

在矩形ABCD中，AE平分∠DAC，DH⊥AC于H交AE于点F，过F作FG∥AC交CD于点G，
（1）求证：DE=CG；
（2）若AC平分∠BAE，FH=2，求四边形ECHF的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠DAE=∠CAE，然后根据等角的余角相等求出∠DEF=∠DFE，再根据等角对等边的性质求出DE=DF，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FH=FM，根据矩形的对边相等求出FH=GN，再求出∠GCN=∠FDA，然后利用“角角边”证明△DMF和△CNH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=DF，从而得证；
（2）求出∠DAE=∠CAE=∠BAC=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AF，再求出AH、AM，然后求出AD、CD，解直角三角形求出DE，再求出CE，最后根据S_{四边形ECHF}=S_△ACE-S_△AFH列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∵∠DEF+∠DAE=∠AFH+∠CAE，∠AFH=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥AC于N，
∵AE平分∠DAC，
∴FH=FM，
∵DH⊥AC，FG∥AC，
∴四边形FHNG是矩形，
∴FH=GN，
∴FM=GN，
∵DH⊥AC，
∴∠GCN+∠CDH=90°，
∵∠FDA+∠CDH=∠ADC=90°，
∴∠GCN=∠FDA，
在△DMF和△CNH中，

∠GCN=∠FDA ∠DMF=∠CNG=90° FM=GN

，
∴△DMF≌△CNH（AAS），
∴CG=DF，
∴DE=CG；

（2）解：∵AC平分∠BAE，AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE=∠BAC=90°÷3=30°，
∵FH=2，
∴AF=2FH=2×2=4，
∴AM=AH=

42-22

=2

3

，
∵∠ADF=∠ACD=∠BAC=30°，FM⊥AD，
∴AD=2AM=2×2

3

=4

3

，
∴CD=

3

AD=

3

×4

3

=12，
∵DE=

3

3

×4

3

=4，
∴CE=CD-DE=12-4=8，
∴S_{四边形ECHF}=S_△ACE-S_△AFH
=

1

2

×8×4

3

-

1

2

×2×2

3

=16

3

-2

3

=14

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等角的余角相等的性质，解直角三角形，难点在于作辅助线构造出矩形和全等三角形．