Question

（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求x²+4x+5的最小值．
解：原式=x²+4x+4+1=（x+2）²+1
∵（x+2）²≥0
∴（x+2）²+1≥1
∴当x=-2时，原式取得最小值是1
请求出x²+6x-4的最小值．
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知△ABC的三边a，b，c满足a²-6a+b²-8b+25+|c-5|=0，求△ABC的周长．
（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²=ab+bc+ac．试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：绝对值,非负数的性质：偶次方,因式分解的应用

专题：

分析：（1）利用配方法得出最小值即可；
（2）利用非负数的性质得出a、b、c的值，进一步求得周长即可；
（3）整理得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形

解答：解：（1）x²+6x-4
=x²+6x+9-9-4
=（x+3）²-13，
∵（x+3）²≥0
∴（x+3）²-13≥-13
∴当x=-3时，原式取得最小值是-13．
（2）∵a²-6a+b²-8b+25+|c-5|=0，
∴（a-3）²+（b-4）²+|c-5|=0，
∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，
∴a=3，b=4．c=5，
∴△ABC的周长=3+4+5=12．
（3）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a²+b²+c²=ab+bc+ac，
∴a²+b²+c²-ac-ab-bc=0，
∴2a²+2b²+2c²-2ac-2ab-2bc=0，
即a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+a²+c²-2ac=0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．