【题目】《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作,它建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理的几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系﹣﹣﹣几何学.以下是《几何原本》第一卷中的命题6,请完成它的证明过程.
命题6:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
已知: .
求证: .
证明:若AB≠AC,其中必有一个较大,不妨设AB>AC,在AB上截取BD=AC,
连接DC.
∵ ,
,
,
∴△ACB≌△DBC
∴∠BDC=∠CAB .
又∠BDC>∠CAB .
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于,显然是矛盾的.
∴假设不成立,即AB=AC.
【答案】:△ABC中,∠B=∠C;AB=AC;BD=CA,∠B=∠ACB,BC=CB;(SAS);(全等三角形的对应角相等);(三角形外角性质).
【解析】
运用反证法进行证明,反证法的一般步骤是:①假设命题的结论不成立;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确.
解:已知:△ABC中,∠B=∠C.
求证:AB=AC.
证明:若AB≠AC,其中必有一个较大,不妨设AB>AC,在AB上截取BD=AC,
连接DC.
∵BD=CA,
∠B=∠ACB,
BC=CB,
∴△ACB≌△DBC(SAS)
∴∠BDC=∠CAB(全等三角形的对应角相等).
又∠BDC>∠CAB(三角形外角性质).
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于,显然是矛盾的.
∴假设不成立,即AB=AC.
故答案为:△ABC中,∠B=∠C;AB=AC;BD=CA,∠B=∠ACB,BC=CB;(SAS);(全等三角形的对应角相等);(三角形外角性质).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=4,BD=3,求△ADE的周长
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N,动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动.同时,动点Q在线段AC上由点N向点C运动,且始终保持MQ⊥MP.一个点到终点时两个点同时停止运动,设运动的时间为t秒(t>0).
(1)求证:△PBM∽△QNM.
(2)若∠ABC=60°,AB=4cm,
①求动点Q的运动速度;
②设△APQ的面积为S(cm2),求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围).
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD.BC∥AD.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(2)△ABC关于对角线AC的对称图形为△AEC,EC、AD交于点F,判断△ACF的形状并说明理由.
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【题目】如图,若四边形
、四边形
都是正方形,显然图中有
,
;
当正方形
绕
旋转到如图
的位置时,
是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
当正方形
绕
旋转到如图
的位置时,延长
交
于
,交
于
.
①求证:;
②当,
时,求
的长.
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