[题目]如图.在四边形ABCD中.AB∥CD．BC∥AD．(1)求证:△ABC≌△CDA,(2)△ABC关于对角线AC的对称图形为△AEC.EC.AD交于点F.判断△ACF的形状并说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD．BC∥AD．

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）△ABC关于对角线AC的对称图形为△AEC，EC、AD交于点F，判断△ACF的形状并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）△ACF是等腰三角形，见解析.

【解析】

（1）利用平行线的性质，根据ASA即可判断；

（2）只要证明∠ACF＝∠CAF，即可判断．

（1）证明：∵AB∥CD

∴∠BAC＝∠ACD，

∵BC∥AD，

∴∠ACB＝∠CAD，

∵AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA（ASA），

（2）∵△ABC与△AEC关于AC对称，

∴∠ACB＝∠ACE，

∵AD∥BC，

∠ACB＝∠CAD，

∴∠ACF＝∠CAF，

∴FA＝FC，

∴△ACF是等腰三角形．

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已知：　　．

求证：　　．

证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，

连接DC．

∵　　，

　　，

∴△ACB≌△DBC　　

∴∠BDC＝∠CAB　　．

又∠BDC＞∠CAB　　．

∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的．

∴假设不成立，即AB＝AC．

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【答案】(1)反比例函数的解析式为y＝；(2)S阴影＝6π－.

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本题解析：

(1)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，OB＝3，

∴AB＝OB·tan 30°＝3.

∴点A的坐标为(3，3)．

设反比例函数的解析式为y＝ (k≠0)，

∴3＝，∴k＝9，则这个反比例函数的解析式为y＝.

(2)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，AB＝3，

sin ∠AOB＝，即sin 30°＝，

∴OA＝6.

由题意得：∠AOC＝60°，S扇形AOA′＝＝6π.

在Rt△OCD中，∠DOC＝45°，OC＝OB＝3，

∴OD＝OC·cos 45°＝3×＝.

∴S△ODC＝OD2＝＝.

∴S阴影＝S扇形AOA′－S△ODC＝6π－.

点睛：本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式、特殊角的三角函数值、扇形的面积及等腰三角形的性质，本题属于中档题，难度不大，将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和是解答本题的关键.

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