【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N,动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动.同时,动点Q在线段AC上由点N向点C运动,且始终保持MQ⊥MP.一个点到终点时两个点同时停止运动,设运动的时间为t秒(t>0).
(1)求证:△PBM∽△QNM.
(2)若∠ABC=60°,AB=4cm,
①求动点Q的运动速度;
②设△APQ的面积为S(cm2),求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围).
【答案】(1)见解析;(2)①Q点的运动速度为1cm/s,②S=﹣t2+8.
【解析】
(1)由条件可以得出,,就可以得出;
(2)①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值,再由就可以求出Q的运动速度;
②先由条件表示出AN、AP和AQ,再由三角形的面积公式就可以求出其解析式;
(1)∵MQ⊥MP,MN⊥BC,
∴∠PMN+∠PMB=90°,∠QMN+∠PMN=90°,
∴∠PMB=∠QMN.
∵∠B+∠C=90°,∠C+∠MNQ=90°,
∴∠B=∠MNQ,
∴△PBM∽△QNM.
(2)∵∠BAC=90°,∠ABC=60°,
∴BC=2AB=8cm.AC=12cm,
∵MN垂直平分BC,
∴BM=CM=4cm.
∵∠C=30°,
∴MN=CM=4cm.
①设Q点的运动速度为v(cm/s).
∵△PBM∽△QNM.
∴=,
∴=,
∴v=1,
答:Q点的运动速度为1cm/s.
②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm,
∴AP=4﹣t,AQ=4+t,
∴S=APAQ=(4﹣t)(4+t)=﹣t2+8.
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【题目】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC,点D在直线AB上,连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,
(1)如图1,①点D在AB边上,直接写出线段BE和线段AD的关系;
(2)如图2,点D在B右侧,BD=1,BE=5,求CE的长.
(3)拓展延伸
如图3,∠DCE=∠DBE=90,CD=CE,BC=,BE=1,请直接写出线段EC的长.
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【题目】如图,已知中,,厘米,厘米,点为的中点.如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动,同时,点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动,设运动时间为(秒).
(1)用含的代数式表示的长度;
(2)若点、的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
(3)若点、的运动速度不相等,当点的运动速度为多少时,能够使与全等?
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【题目】如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=-90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置,使点E’落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
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【题目】《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作,它建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理的几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系﹣﹣﹣几何学.以下是《几何原本》第一卷中的命题6,请完成它的证明过程.
命题6:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
已知: .
求证: .
证明:若AB≠AC,其中必有一个较大,不妨设AB>AC,在AB上截取BD=AC,
连接DC.
∵ ,
,
,
∴△ACB≌△DBC
∴∠BDC=∠CAB .
又∠BDC>∠CAB .
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于,显然是矛盾的.
∴假设不成立,即AB=AC.
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【题目】如图,AB=BD,AC=CE,DC、BE交于点F,∠ABD=∠ACE=60°.
(1)求证:BE=CD;
(2)求∠A+∠ABF+∠ACF的值.
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【题目】如图,有、、三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A.在∠A、∠B两内角平分线的交点处
B.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
C.在AC、BC两边高线的交点处
D.在AC、BC两边中线的交点处
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