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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,ABAC,MBC边的中点,MNBCAC于点N,动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动.同时,动点Q在线段AC上由点N向点C运动,且始终保持MQMP.一个点到终点时两个点同时停止运动,设运动的时间为t秒(t0).

(1)求证:△PBM∽△QNM.

(2)若∠ABC=60°,AB=4cm,

①求动点Q的运动速度;

②设△APQ的面积为S(cm2),求St的等量关系式(不必写出t的取值范围).

【答案】(1)见解析;(2)Q点的运动速度为1cm/s,S=﹣t2+8

【解析】

(1)由条件可以得出,,就可以得出;
(2)①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值,再由就可以求出Q的运动速度;
②先由条件表示出AN、APAQ,再由三角形的面积公式就可以求出其解析式;

(1)MQMP,MNBC,

∴∠PMN+PMB=90°,QMN+PMN=90°,

∴∠PMB=QMN.

∵∠B+C=90°,C+MNQ=90°,

∴∠B=MNQ,

∴△PBM∽△QNM.

(2)∵∠BAC=90°,ABC=60°,

BC=2AB=8cm.AC=12cm,

MN垂直平分BC,

BM=CM=4cm.

∵∠C=30°,

MN=CM=4cm.

①设Q点的运动速度为v(cm/s).

∵△PBM∽△QNM.

=

=

v=1,

答:Q点的运动速度为1cm/s.

②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm,

AP=4t,AQ=4+t,

S=APAQ=(4t)(4+t)=﹣t2+8

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已知:   

求证:   

证明:若ABAC,其中必有一个较大,不妨设ABAC,在AB上截取BDAC

连接DC

   

   

   

∴△ACB≌△DBC   

∴∠BDC=∠CAB   

又∠BDC>∠CAB   

∴∠BDC与∠CAB即等于又大于,显然是矛盾的.

∴假设不成立,即ABAC

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