Question

【题目】Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上两点，且ED⊥FD．

（1）如图1，若E是AC中点，则BF=______，EF=______，AE2+BF2______EF2（填“>,<或=”）；

（2）如图2，若点E是AC边上任意一点，AE2+BF2_____EF2（填“>,<或=”），请说明理由；

（3）若点E在CA延长上，（2）中三条线段之间的关系是否成立？请画图说明．

Answer 1

【答案】（1）4；5；=；（2）=；证明见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）由∠C=90°，AC=6，BC=8，可得，

又因为E是AC的中点，D是AB的中点，可得，所以∠DEF=∠CFE，因为ED⊥FD，所以∠EDF=90°，即∠CEF+∠CFE=∠DFE+∠DEF=90°，推出∠DFE=∠CEF，得到DF∥AC，又因为D为AB中点，推出F是BC的中点，所以，因为E是AC的中点，F为BC中点，所以，由勾股定理得，等量替代即可得到；

（2）如图，延长ED至G使得ED =DG，连接BG，FG，因为D是AB的中点，可得AD=BD，通过证△ADE≌△BDG，可得AE=BG，∠A=∠3，又∠C =90°，所以∠A+∠ABC=90°，所以∠3+∠ABC=∠FBG=90°，可得BG2+BF2=FG2，因为AE=BG，所以AE2+BF2=FG2，因为DE=DG，∠EDF=90°，所以FE=FG，即可推出AE2+BF2=EF2；

（3）成立，延长ED至G使得ED=DG，连接BG，FG，因为D是AB的中点，可得AD=BD，因为∠1=∠2，DE=DG，得到△ADE≌△BDG，所以AE=BG，∠AED=∠BGD，因为∠3=∠4，∠AED=∠BGD，推出∠GBF=∠C=90°，因为FD⊥ED，D为EG中点，所以EF=FG，又在Rt△BFG中，BG2+BF2=FG2，等量替代可得AE2+BF2=EF2；

解：（1）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴，

∵E是AC的中点，D是AB的中点，

∴，

∴∠DEF=∠CFE，

∵ED⊥FD，

∴∠EDF=90°，

∴∠CEF+∠CFE=∠DFE+∠DEF=90°，

∴∠DFE=∠CEF，

∴DF∥AC，

∵D为AB中点，

∴F为BC中点，

∴，

∵E是AC的中点，F为BC中点，

∴，

∵，

∴；

故答案为：4； 5；AE2+BF2=EF2；

（2）AE2+BF2=EF2，

如图，延长ED至G使得ED=DG，连接BG，FG．

∵D是AB的中点，

∴AD=BD，

∵∠1=∠2，DE=DG，

∴△ADE≌△BDG，

∴AE=BG，∠A=∠3，

∵∠C =90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∴∠3+∠ABC=∠FBG=90°，

∴BG2+BF2=FG2，

∵AE=BG，

∴AE2+BF2=FG2，

∵DE=DG，∠EDF=90°，

∴FE=FG，

∴AE2+BF2=EF2，

（3）成立，如图，延长ED至G使得ED=DG，连接BG，FG，

∵D是AB的中点，

∴AD=BD，

∵∠1=∠2，DE=DG，

∴△ADE≌△BDG，

∴AE=BG，∠AED=∠BGD，

∵∠3=∠4，∠AED=∠BGD，

∴∠GBF=∠C=90°，

∵FD⊥ED，D为EG中点，

∴EF=FG，

在Rt△BFG中，BG2+BF2=FG2，

即AE2+BF2=EF2；