【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABC的边BC在x轴上,A,C两点的坐标分别为A(0,m),C(n,0),B(﹣5,0),且(n﹣3)2+ =0.一动点P从点B出发,以每秒2单位长度的速度沿射线BO匀速运动,设点P运动的时间为ts.
(1)求A,C两点的坐标;
(2)连接PA,若△PAB为等腰三角形,求点P的坐标;
(3)当点P在线段BO上运动时,在y轴上是否存在点Q,使△POQ与△AOC全等?若存在,请求出t的值并直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(0,4),C(3,0);(2)(﹣0.9,0)或(5,0);( ﹣5,0);(3)存在,当t=1秒,点Q的坐标为(0,4)或(0,﹣4);当t=秒,点Q的坐标为(0,3)或(0,﹣3)
【解析】
(1)根据非负数的性质分别求出n、m的值,即可求得点A、C两点的坐标;(2)分BA=BP、AB=AP、PA=PB三种情况,根据等腰三角形的性质、勾股定理计算求解即可;(3)分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC两种情况求解即可.
(1)∵(n﹣3)2+=0,
∴n﹣3=0,3m﹣12=0,
解得,n=3,m=4,
∴点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(3,0);
(2)由勾股定理得,AB==,
当BA=BP时,点P的坐标为(﹣5,0);
当AB=AP时,点P的坐标(5,0);
当PA=PB时,设PA=x,则OP=5﹣x,
在Rt△AOP中,AP2=OP2+OA2,即x2=(5﹣x)2+42,
解得,x=4.1,
则OP=0.9,
∴点P的坐标(﹣0.9,0);
综上所述,△PAB为等腰三角形,点P的坐标为(﹣0.9,0)或(5,0);( ﹣5,0);
(3)当△QOP≌△AOC时,OP=OC=3,OQ=OA=4,
∴BP=2,
则t=1秒,点Q的坐标为(0,4)或(0,﹣4);
当△POQ≌△AOC时,OP=OA=4,OQ=OC=3,
则t=秒,点Q的坐标为(0,3)或(0,﹣3).
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【题目】如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S△BCM=2:3.其中正确结论的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
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【题目】如图,在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.试猜想线段AD与AG的数量及位置关系,并证明你的猜想.
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【题目】已知△ ABC 是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,点 M 在边 AC 上,点 N在边 BC 上(点 M、点 N 不与所在线段端点重合),BN=AM,连接 AN,BM.射线 AG∥BC,延长 BM 交射线 AG 于点 D,点 E 在直线 AN 上,且 AE=DE.
(1)如图,当∠ACB=90°时,
①求证:△ BCM≌△ACN;
②求∠BDE 的度数;
(2)当∠ACB=ɑ ,其它条件不变时,∠BDE 的度数是 (用含ɑ 的代数式表示).
(3)若△ ABC 是等边三角形,AB=3,点 N 是 BC 边上的三等分点,直线 ED 与直线 BC 交于点 F,请直接写出线段 CF 的长.
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【题目】如图,在△ABO中,AB⊥OB,OB= ,AB=1,把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O,则点A1坐标为( )
A.(﹣1,﹣ )
B.(﹣1,﹣ )或(﹣2,0)
C.(﹣ ,1)或(0,﹣2)
D.(﹣ ,1)
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【题目】图1的长方形ABCD中,E点在AD上,且BE=2AE.今分别以BE、CE为折线,将A、D向BC的方向折过去,图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图.若图2中,∠AED=15°,则∠BCE的度数为何?( )
A. 30 B. 32.5 C. 35 D. 37.5
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【题目】食品安全是关乎民生的重要问题,在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害,但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输.为提高质量,做进一步研究,某饮料加工厂需生产A,B两种饮料共100瓶,需加入同种添加剂270克,其中A饮料每瓶需加添加剂2克,B饮料每瓶需加添加剂3克,饮料加工厂生产了A,B两种饮料各多少瓶?
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【题目】如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
在图中画出与关于直线l成轴对称的;
三角形ABC的面积为______;
以AC为边作与全等的三角形,则可作出______个三角形与全等;
在直线l上找一点P,使的长最短.
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