Question

【题目】已知△ ABC 是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点 M 在边 AC 上，点 N在边 BC 上（点 M、点 N 不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接 AN，BM．射线 AG∥BC，延长 BM 交射线 AG 于点 D，点 E 在直线 AN 上，且 AE＝DE.

（1）如图，当∠ACB＝90°时，

①求证：△ BCM≌△ACN；

②求∠BDE 的度数；

（2）当∠ACB＝ɑ ，其它条件不变时，∠BDE 的度数是 （用含ɑ 的代数式表示）.

（3）若△ ABC 是等边三角形，AB＝3，点 N 是 BC 边上的三等分点，直线 ED 与直线 BC 交于点 F，请直接写出线段 CF 的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；90°；（2）α或180－α；（3）或．

【解析】

（1）①根据SAS证明即可；

②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；

（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E在NA的延长线上时；

（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K．解直角三角形即可．②如图5中，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．

（1）①如图1．

∵CA=CB，BN=AM，∴CB﹣BN=CA﹣AM，即CN=CM．

∵∠ACN=∠BCM，∴△BCM≌△ACN．

②如图1．

∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC=∠NAC．

∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA．

∵AG∥BC，∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠NAC，∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°．

（2）如图2，当点E在AN的延长线上时．

易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD．

∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠ACB=α．

如图3，当点E在NA的延长线上时．

易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC．

∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，∴∠BDE=180°﹣α．

综上所述：∠BDE=α或180°﹣α．

故答案为：α或180°﹣α．

（3）如图4，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K，连结CD．

∵AD∥BC，∴==，∴AD=，AC=3，易证△ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，∴CF=NK=BK﹣BN=﹣=．

如图5，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．

∵AD∥BC，∴==2，∴AD=6，易证△ACD是直角三角形，由△ACK∽△CDH，可得CH=AK=，由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=，∴CF=CH﹣FH=4．

综上所述：CF的长为或4．