Question

5．如图，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CB=2，CE=4，求⊙O的半径r及AE的长．

Answer 1

分析 （1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．
（2）连接BE，根据切割线定理求得AC的长，进而求得AB的长，即可求得⊙O的半径r，再通过证明△CBE∽△CEA，根据相似三角形的性质得出BE=$\frac{1}{2}$AE，然后根据勾股定理即可求得AE的长．

解答 （1）证明：连接OE；
∵AD是∠BAF的平分线，
∴∠CAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠CAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴∠OEC=∠ADC=90°．
∴OE⊥DC．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BE，
∵CB=2，CE=4，
根据切割线定理：CE²=CB•AC，
∴AC=8，
∴AB=8-2=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径r为3，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CEB=∠CAE，
∵∠BCE=∠ACE，
∴△CBE∽△CEA，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE²+BE²=AB²，即AE²+$\frac{1}{4}$AE²=6²，
∴AE=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了切割线定理、三角形相似的判定和性质、勾股定理等，作出辅助线是本题的关键．