Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜2）．连接AC，BC，DB，DC．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积；

（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当m=1，△BCD面积最大为，此时D点为（1，3）；（3）存在，点N的坐标为：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）

【解析】

（1）由抛物线交点式表达式得：y=a（x+1）（x﹣2），将（0，3）代入上式，即可求解；

（2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，由S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB，即可求解；

（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）由抛物线交点式表达式得：y=a（x+1）（x﹣2），

将（0，3）代入上式得：﹣2a=3，解得：a=，

故抛物线的表达式为：；

（2）点C（0，3），B（2，0），

设直线BC的表达式为：y=kx+n，则，解得：，

故直线BC的表达式为：，

如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，

设点D（m，），则点H（m，m+3），

S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB=，

∵﹣＜0，故△BCD的面积有最大值，

当m=1，△BCD面积最大为，此时D点为（1，3）；

（3）m=1时，D点为（1，3），

①当BD是平行四边形的一条边时，

设点N（n，），

则点N的纵坐标为绝对值为3，

即，

解得：n=0或1（舍去）或，

故点N的坐标为（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3），

②当BD是平行四边形的对角线时，

设点M（z，0），点N（s，t），

由中点坐标公式得：，解得t=3，

而，解得s=0或s=1（舍去），

N的坐标为（0，3）；

综上，点N的坐标为：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．