Question

【题目】已知，如图AB是圆O的直径，射线AM⊥AB于点A．点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA．交圆O于点C（A，C不重合），连接BC，CE．

（1）求证：CD是圆O的切线；

（2）若四边形OECB是菱形，圆O的直径AB=2，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；

（2）依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．

解：如图，连接OC，∵AM⊥AB，

∴∠OAD=90°．

∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OCD=∠OAD=90°．

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵四边形OECB是菱形，

∴OE=CE．

又∵OC=OE，

∴OC=OE=CE．

∴∠CEO=60°．

∵CE∥AB，

∴∠AOD=60°．

在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，

∴AD=．

故答案为：．