Question

【题目】已知抛物线的顶点在定直线上．

(1)求点的坐标(用含的式子表示)；

(2)求证：不论为何值，抛物线与定直线的两交点间的距离恒为定值；

(3)当的顶点在轴上，且与轴交于、两点(点在点左侧)时，在上是否存在两点、，设交线段于点，使，且直线将的面积分成的两部分？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（-2m，-4m-3）；（2）见解析；（3）存在，直线MN的解析式为：y=x+3-2或y=x+3-2．

【解析】

（1）可用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，从而可得出结果；

（2）设顶点坐标为（x，y），从而可用含m的代数式表示x、y，消去m，就可得到x与y的关系，得出定直线l的解析式，将直线l的解析式与抛物线的解析式联立，消去y，求出x，就可得到两交点的横坐标，将横坐标代入直线l的解析式进而可得出两个交点的坐标，然后运用两点之间的距离公式就可解决问题；
（3）先得出C1的解析式，求出A，B，C的坐标，再进一步得出∠ACB=60°，所以MN∥BC，从而根据直线BC的解析式可设MN的解析式为y=x+m．由直线MN将△ABC的面积分成两部分，设MN与x轴交于点T，可分为以下两种情况：①当S△APT:S四边形PTBC=1:2时，则S△APT=S△ABC；当S△APT:S四边形PTBC=2:1时，则S△APT=S△ABC，再根据相似三角形的性质可求出AT的长，从而可得出点T的坐标，代入直线MN的解析式可求出m的值，即可得出结果．

解：（1）∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=（x+2m）2-4m-3，
∴抛物线的顶点C的坐标为（-2m，-4m-3）；
（2）设抛物线的顶点坐标为（x，y），
则有x=-2m①，y=-4m-3②，

由①②消去m得，y=2x-3，
∴定直线l的解析式为y=2x-3．

联立抛物线与直线l的解析式得，

，消去y整理得，x2+（4m-2）x+4m2-4m=0，

∴（x+2m）(x+2m-2)=0，∴x1=-2m，x2=2-2m，

∴抛物线与定直线l的两交点坐标为（-2m，-4m-3），（2-2m，1-4m），

∴d==．

故不论为何值，抛物线与定直线的两交点间的距离恒为定值；

（3）存在．∵抛物线的顶点在y轴上，∴-2m=0，即m=0．

∴C1的解析式为y=x2-3，

∴A(-，0)，B（，0），C（0，-3），

∴BO=AO=，OC=3，∴AB=2，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，同理可得∠BCO=30°，

∴∠APN=2∠ACO=60°，∴∠APN=∠ACB=60°，

∴MN∥BC，

设直线BC的解析式为y=kx+b，则，得k=，

∴设直线MN的解析式为y=x+m，设MN与x轴交于点T，

情况1：如图①，当S△APT:S四边形PTBC=1:2时，则S△APT=S△ABC，

又PT∥BC，∴△APT∽△ACB，

∴，∴AT==2，∴OT=2-，

∴点T的坐标为（2-，0）．

将点T的坐标代入y=x+m得，m=3-2，

∴直线MN的解析式为y=x+3-2．

情况2：如图②，当S△APT:S四边形PTBC=2:1时，则S△APT=S△ABC，

∴，∴AT==2，∴OT=2-，

∴点T的坐标为（2-，0）．

将点T的坐标代入y=x+m得，m=3-2，

∴直线MN的解析式为y=x+3-2．

综上所述，直线MN的解析式为：y=x+3-2或y=x+3-2．