Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于D，过D作⊙O的切线EF交AC于E，交AB延长线于F．

（1）求证：DE⊥AC．

（2）若BD＝2，tan∠CDE＝，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，AD，由切线的性质得出OD⊥DE，证明OD是△ABC的中位线，得出OD∥AC，即可得出结论．

（2）证∠CDE=∠DAC，由三角函数定义得出AD＝2CD＝．由勾股定理求出AB=10，得出OA=OD=OB=5，AC=AB=10，证明△AEF～△ODF，进而得出答案．

（1）证明：连接OD，AD，如图：

∵EF是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝DC，

又∵OB＝OA，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AC．

（2）解：由（1）得，

∵DE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CDE+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，

∴∠CDE＝∠DAC，

∴，

∴，

∴，

在Rt△ABD中，，

∴OA＝OD＝OB＝5，AC＝AB＝10，

在Rt△CDE中，DE2+CE2＝CD2，

∴，

解得CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝10﹣2＝8，

∵∠AEF＝∠ODF＝90°，∠F＝∠F，

∴△AEF～△ODF，

∴，即，

解得：．