Question

如图在正方形ABCD中点E是CD的中点，AC与BE相交于点F，连接DF并延长交BC于点G，连接AE交DG于点H，则下列结论：①△ADF≌△ABF；②GB=GC；③S_△ABF=S_△GBF；④DE²=EH•EB，其中结论正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据题意结合图形，灵活运用有关定理对每一个结论逐一解析，即可解决问题．

解答：解：如图，过点F作FM⊥BC，FN⊥DC；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠BAF=45°，AD=AB=BC=CD；
∴FM=FN
在△ADF与△ABF中，

AD=AB ∠DAF=∠BAF AF=AF

，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，BC∥AD；
∴△CEF∽△ABF，△CGF∽△ADF，
∴

CE

AB

=

CF

AF

，

CG

AD

=

CF

AF

，而AB=AD，
∴CE=CG=

1

2

BC，
∴BG=CG，故②正确；
∵△CEF∽△ABF，
∴

S△CEF

S△ABF

=(

CE

AB

)2=

1

4

；
∵CE=BG，FM=FN，
∴S_△CEF=S_△BGF，
故③不正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠EDA=∠ECB；
在△ADE与△BCE中，

AD=BC ∠ADE=∠BCE DE=CE

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE；
同理可证：△ADE≌△DCG，
∴AE=DG；∠DAE=∠CDG，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDG+∠DEA=90°，
∴∠EDH=90°，
∴DE²=EH•AE，而EA=EB，
∴DE²=EH•EB．
故④正确．
综上所述，正确结论有3个．
故选C．

点评：该题以正方形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．