Question

14．已知一元二次方程x²-11x+30=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 先求出方程的解，得出两种情况，求出高AD，根据三角形面积公式求出即可．

解答 解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
x²-11x+30=0，
解得：x=6或5，
①当AB=AC=6，BC=5时，则BD=DC=2.5，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}-2．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，
△ABC的面积是$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}×$5×$\frac{\sqrt{119}}{2}$=$\frac{5\sqrt{119}}{4}$；
②当AB=AC=5，BC=6时，则BD=DC=3，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
△ABC的面积是$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}×$6×4=12，
所以△ABC的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12．

点评 本题考查了解一元二次方程，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，能求出等腰三角形的高是解此题的关键，用了分类讨论思想．