Question

【题目】如图①，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)．

（1）求出抛物线的函数表达式．

（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△OBC=4S△AOP，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点D为线段BC上一动点，过点D作DE∥y轴交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）点P坐标(0，4)或(3，4)，或(，﹣4)或(，﹣4)；（3）DE的最大值为4．

【解析】

（1）利用待定系数法将点B,C代入即可求出抛物线的表达式；

（2）先利用抛物线的表达式求出点A的坐标，进而可求出OA,OB,OC的长度，然后利用面积之间的关系求出点P的纵坐标，再将P的纵坐标代入抛物线的表达式中求出横坐标即可；

（3）先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出先对DE的长度，再利用二次函数的性质求最大值即可．

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为：y=﹣x2+3x+4；

（2）∵y=﹣x2+3x+4与x轴交于点A和点B(4，0)，

∴0=﹣x2+3x+4，

∴x1=4，x2=﹣1，

∴点A(﹣1，0)，且点B(4，0)，点C(0，4)，

∴AO=1，BO=CO=4，

设点P(x，y)

∵S△OBC=4S△AOP，

∴OB×OC=4AO×|y|，

∴|y|=4，

∴y=±4，

当y=4时，4=﹣x2+3x+4，

∴x1=0，x2=3，

∴点P坐标(0，4)或(3，4)，

当y=﹣4时，﹣4=﹣x2+3x+4，

∴x3，x4，

∴点P坐标(，﹣4)或(，﹣4)，

综上所述，点P的坐标为(0，4)或(3，4) 或(，﹣4)或(，﹣4)

（3）设直线BC的解析式为

将点B(4，0)， C(0，4)代入解析式中得，

解得

∴直线BC解析式为：y=﹣x+4，

设点E(a，﹣a2+3a+4)，则点D(a，﹣a+4)，

∴DE=﹣a2+3a+4﹣(﹣a+4)=﹣(a﹣2)2+4，

当a=2时，DE的最大值为4．