Question

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=

3

，∠ACB=30°．
（1）求证：点D是AC的中点．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
（3）分别求AB，OE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接BD，根据圆周角定理求出BD⊥AC，根据等腰三角形性质求出即可．
（2）连接OD，根据三角形中位线求出OD∥BC，求出DE⊥OD，根据切线的判定推出即可．
（3）求出DE、CE，在△DEB中求出BE，即可求出AB，求出OD，在△ODE中，根据勾股定理求出OE即可．

解答：（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D是AC的中点．

（2）证明：连接OD，
∵D为AC中点，AO=BO，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线．

（3）解：∵在Rt△CDB中，∠ADB=∠CDB=90°∠C=30°，CD=

3

，
∴DE=

3

2

，CE=

3

2

×

3

=

3

2

，∠CBD=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=DE×tan30°=

1

2

，
∴AB=BC=BE+CE=

1

2

+

3

2

=2，
在Rt△哦、ODE中，OD=

1

2

AB=1，DE=

3

2

，由勾股定理得：OE=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，切线的判定和性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．