Question

20．如图：在△ABC中，BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，直线BD、CE相交于H．
（1）若∠A=60°，求∠BHC的度数？
（2）猜想，∠BHC与∠A互补吗？并说明理由？
（3）若∠A为钝角时，上述关系还存在吗？试通过画图说明是否存在这种关系．（不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数；
（2）利用（1）中的四边形的内角和和高的意义判定即可；
（3）利用（2）中的结论和过程说明∠BHC与∠A互补．

解答 解：（1）∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，
∴∠EHD=180°-60°=120°，
∴∠BHC=120°．
（2）∠A与∠BHC互补．
理由：∵∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠BHC=180°．
（3）∠BAC+∠EHD=180°．
∵BD，CE是△ABC的高（已知），
∴∠ADH=∠AEH=90°（高的意义），
∵∠DAE+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC+∠EHD=180°．
如图，

点评 本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和以及三角形高的意义，解答此类题目要注意三角形的内角和是180°这一隐含的条件来解决．