如图经过原点的抛物线y=ax2+bx经过点A.B两点.其中OB=12.且∠OAB=90°.∠AOB=30°.点Q是OB的中点.连结AQ．一动点C从Q点出发.以每秒1个单位长度的速度沿线段QO匀速运动.到达O点后.立即以原速度沿线段OQ返回,另一动点D从Q点出发.以每秒1个单位长度的速度沿射线QB匀速运动.点C.D同时出发.当点C返回到点Q时停止运动.在点C.D的运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图经过原点的抛物线y=ax²+bx经过点A、B两点，其中OB=12，且
∠OAB=90°，∠AOB=30°，点Q是OB的中点，连结AQ．一动点C从Q点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段QO匀速运动，到达O点后，立即以原速度沿线段OQ返回；另一动点D从Q点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线QB匀速运动，点C、D同时出发，当点C返回到点Q时停止运动，在点C、D的运动过程中，过点C作直线CE∥AQ，过点D作DE⊥x轴交CE于点E．设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求出该抛物线的函数解析式．
（2）求当t为何值时，点E在抛物线上，
（3）在点C从点O返回到点Q的过程中，直接写出以P、B、D、E组成的四边形面积的最小值．
（4）设射线CE与线段OA的交点为P，是否存在这样的t，使△POQ是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，过点A作AF⊥OB于点F，通过解直角△OAF、△ABF求得OF、AF的长度，则易求点A的坐标，把点A的坐标代入函数关系式y=a（x-0）（x-12）列出关于a的方程，通过解方程求得系数a的值．
（2）把点E的坐标代入（1）中的函数关系式来求t的值；
（3）如图2，S_{四边形PBDE}=S_△ECD-S_△CPB，利用三角形的面积公式列出S关于t的二次函数，通过求二次函数的最值进行解答；
（4）需要分类讨论：OP=OQ=6、OP=PQ以及OQ=PQ三种情况下的t的值．

解答：

解：（1）如图1，过点A作AF⊥OB于点F，∵OB=12，且
∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴OA=OB•cos30°=6

，
∴AF=

OA=3

，OF=OA•cos30°=9，
则易求得点A（9，3

）．
设y=a（x-0）（x-12）（a≠0），则3

=a（9-0）（9-12）
∴a=-

，即y=-

（x²-12）．
（注：可以利用二元一次方程组来求解）；

（2）如图2，∵点Q是OB的中点，∠OAB=90°，
∴QA=QO，
∴∠QOA=∠QAO=30°，
∴∠AQB=2∠QOA=60°，
∵CE∥AQ，
∴∠ECD=∠AQB=60°，

易求得点E（t+6，2

t），将其代入（1）中的函数解析式得
2

t=-

（t+6）（t-6），
解得 t=3

-9（舍去负值）
答：当t=3

-9时，点E在抛物线上；

（3）如图2，分别作△OCP和△OQA的高PM、AN．
∵CE∥AQ，
∴△OCP∽△OQA，
∴

，则

t-6

，
解得 PM=6

（t-6）．
∴S_{四边形PBDE}=S_△ECD-S_△CPB=

（12-t+t）×2

×（12-t+6）×6

（t-6）=3

t²-60t+324

，
∴S_最小值=

4×3

×324

-3600

=63

，

即：以P、B、D、E组成的四边形面积的最小值是63

；

（4）存在．理由如下：OC=6-t或t-6．
i）当OP=OQ=6时，（如图3），过点C作CM⊥OA于M，
则OM=

OP=6，
由

=cos30°=

，
∴OC=2

，

∴t-6=2

或6-t=2

．
∴t=6+2

或t=6-2

；
ii）当OP=PQ时，（如图4）则∠PQO=∠POQ=30°，
又∵∠PCQ=60°，
∴∠CPQ=90°，QC=2CP=2OC，
又∵OC+CQ=6，
∴OC+2OC=6，OC=2，
∴t-6=2或6-t=2，
∴t=8或t=4；
iii）当OQ=PQ时，（如图5），则∠OPQ=∠POQ=30°，

∴∠PQB=60°=∠PCB，
∴点C和点Q重合，∴OC=6，
∴t-6=6或6-t=6．
∴t=12或t=0（舍去）
∴t=12．
综上所述，存在5个这样的t值，使△POQ是等腰三角形，即t=6+2

或t=6-2

或t=8或t=4或t=12．

点评：本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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