Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx-5（a≠0）经过点A（4，-5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由二次函数图象上点的作伴特征可求出点C的坐标，结合OC=5OB即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出点D的坐标，连接AC，将四边形ABCD分成两个三角形，再根据三角形的面积求出△ACB和△ACD的面积，将其相加即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-5（a≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-5），
∴OC=5，
∵OC=5OB，
∴OB=1．
又∵点B在x轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（-1，0）．
将A（4，-5），B（-1，0）代入y=ax²+bx-5中，
得：$\left\{{\begin{array}{l}{16a+4b-5=-5}\\{a-b-5=0}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}}\right.$，
∴这条抛物线的解析式是y=x²-4x-5．
（2）∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴顶点D的坐标为（2，-9），
连接AC，如图所示．
∵A（4，-5），C（0，-5），
∴AC∥x轴，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×4×5=10$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×4×4=8$，
∴四边形ABCD的面积=10+8=18．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．