Question

如图，B、O是线段AC的三等分点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，D为⊙为上一点且DC=DA．
（1）判断AD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OD、BD，根据OD=OC，DA=DC，求得∠A=∠C=∠ODC，根据已知求得AO=BC，进而根据SAS证得△AOD≌△CBD，从而求得∠ADO=∠CDB=90°，即可证得AD是⊙O的切线．
（2）先求得∠COD=120°，进而根据S_阴影=S_扇形-S_△COD即可求得阴影部分的面积．

解答：解：（1）AD是⊙O的切线，证明如下：
连接OD、BD，
∵OD=OC，DA=DC，
∴∠A=∠C=∠ODC
∵B、O是线段AC的三等分点，
∴AB=BO=CO，
即AO=BC，
在△AOD和△CBD中，

AD=DC ∠A=∠C AO=BC

，
∴△AOD≌△CBD（SAS），
∴∠ADO=∠CDB，BD=OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADO=∠CDB=90°，
∴OD⊥DA，
∴AD是⊙O的切线．
（2）∵BD=OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠COD=120°，
∵⊙O的半径为2，
∴S_△COD=

3

，
∴S_阴影=S_扇形-S_△COD=

120π×22

360

-

3

=

4

3

π-

3

．

点评：本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算等，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．