Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）说明这个二次函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
（2）求这个二次函数的图象与x轴的两个公共点之间的距离（用a的代数式表示）．
（3）a取何值时，这个二次函数的图象与x轴的两个公共点之间的距离最小？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）证明判别式△＞0，即可解决问题．
（2）求出二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，即可解决问题．
（3）运用（1）中的结果，即可解决问题．

解答：解：（1）∵△=a²-4×（a-2）
=a²-4a+8=（a-2）²+4，而（a-2）²≥0，
∴△＞0，故该二次函数的图象与x轴总有两个不同的公共点．
（2）设这个二次函数的图象与x轴的两个公共点之间的距离为λ；
解方程x²+ax+a-2=0得：x1=

-a+ a2-4a+8

2

，x2=

-a- a2-4a+8

2

，
∴λ=x₁-x₂=

a2-4a+8

，
即这个二次函数的图象与x轴的两个公共点之间的距离为

a2-4a+8

．
（3）∵a²-4a+8=（a-2）²+4，
∴当a=2时，a²-4a+8取得最小值，此时，
二次函数的图象与x轴的两个公共点之间的距离最小，最小值为2．

点评：该题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题；解题的关键是灵活运用二次函数与一元二次方程之间的内在联系来分析、解答．