Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是30°．

Answer 1

分析 连接OE、EF，根据圆周角定理和切线的性质得出OE⊥BC，∠AEF=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OE=OF=EF，求得∠OEF=60°，得出∠AEO=30°，然后根据平行线的性质即可求得∠CAE=∠AEO=30°．

解答 解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF=$\frac{1}{2}$AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°-60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案为30°．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．