Question

19．某经销商经销一种产品，这种产品的成本价为6元/个，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价格不得高于12元/个．经调查发现，该产品每天的销售量w（个）与销售价x（元）满足w=-3x+60．设这种产品每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据销售利润y=（每千克销售价-每千克成本价）×销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式；
（2）先利用配方法将（1）的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解；

解答 解：（1）y=w（x-6）
=（x-6）（-3x+60）
=-3x²+78x-360，
则y=-3x²+78x-360．
由题意，有$\left\{\begin{array}{l}{x≥6}\\{-3x+60≥0}\end{array}\right.$，
解得6≤x≤20．
故y与x的函数关系式为：y=-3x²+78x-360，自变量x的取值范围是6≤x≤20；

（2）∵y=-3x²+78x-360=-3（x-13）²+147，
∵a=-3＜0，
∴当x＜13时，y随x的增大而增大，
∵销售价格不得高于12元/个．
∴当x=12时，y有最大值144元．
故当销售价定为12元/千克时，每天可获最大销售利润144元．

点评 本题考查了二次函数的应用，难度适中．得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，利用配方法或公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法．