Question

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S_△PBC=50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；
（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．

解答 解：（1）如图，

过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S=S_△OED+S_梯形EFCD-S_△CFB
=$\frac{1}{2}$×AE×DE+$\frac{1}{2}$×（CF+DE）×EF-$\frac{1}{2}$×FC×FB．
=$\frac{1}{2}$×2×7+$\frac{1}{2}$×（7+5）×7-$\frac{1}{2}$×2×5=44．
故四边形ABCD的面积为44．
（2）当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；
如图，

S_△PBC=$\frac{1}{2}$|7-x|×5=50，
解得：x=-13或27，
点P坐标为（-13，0），（27，0）；
当点P在y轴上，设P点坐标为（0，y）；
①P在直线BC上方时，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$×（5+y）×9-$\frac{1}{2}$×2×5-$\frac{1}{2}$×7y=50解得：y=$\frac{65}{2}$
点P坐标为（0，$\frac{65}{2}$）
②P在直线BC下方时，
∵直线BC的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-$\frac{35}{2}$，
∴直线BC与y轴的交点为（0，-$\frac{35}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$（-$\frac{35}{2}$-y）×9-$\frac{1}{2}$（-$\frac{35}{2}$-y）×7=50，
解得y=-$\frac{135}{2}$，
∴点P坐标（0，-$\frac{135}{2}$）．
综上所知：点P坐标为P₁（-13，0），P₂（27，0），P₃（0，$\frac{65}{2}$），P₄（0，-$\frac{135}{2}$）．

点评 此题考查了坐标与图形性质，四边形的面积，掌握两点之间的距离计算方法和组合面积的求法是解决问题的关键．