Question

6．关于x的方程|8x-1|+3x+||x+a|-3|-4=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 题目含有一个单层绝对值和一个双重绝对值，首先利用求概率列举方式进行讨论，共分8种情况，然后利用绝对值性质去掉绝对值，求出未知数x的值，再将x的值代入相应取值范围，可以求a的取值范围．

解答 解：①当x＜$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3＜0时，
原式得：1-8x+3x+x+a+3-4=0，
解得：x=$\frac{a}{4}$，
代入①得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}＜\frac{1}{8}}\\{\frac{a}{4}+a＜0}\\{\frac{a}{4}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{12}{5}$．

②当x＜$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3≥0时，
原式得：1-8x+3x-x-a-3-4=0，
解得：x=-1-$\frac{a}{6}$，
代入②得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{a}{6}＜\frac{1}{8}}\\{-1-\frac{a}{6}+a＜0}\\{-1-\frac{a}{6}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{27}{4}$＜a$＜-\frac{12}{5}$．

③当x＜$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3＜0时，
原式得：1-8x+3x-x-a+3-4=0，
解得：x=-$\frac{a}{6}$
代入③得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{6}＜\frac{1}{8}}\\{-\frac{a}{6}+a≥0}\\{-\frac{a}{6}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：无解．

④当x＜$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3≥0时，
原式得：1-8x+3x+x+a-3-4=0，
解得：x=$\frac{a-6}{4}$，
代入④得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-6}{4}＜\frac{1}{8}}\\{\frac{a-6}{4}+a≥0}\\{\frac{a-6}{4}+a+3≥0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{6}{5}$≤a＜$\frac{13}{2}$．

⑤当x≥$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3＜0时，
原式得：8x-1+3x+x+a+3-4=0，
解得：x=$\frac{2-a}{12}$，
代入⑤得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-a}{12}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{2-a}{12}+a＜0}\\{\frac{2-a}{12}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{38}{11}$．

⑥当x≥$\frac{1}{8}$，x+a＜0，x+a+3≥0时，
原式得：8x-1+3x-x-a-3-4=0，
解得：x=$\frac{a+8}{10}$，
代入⑥得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+8}{10}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{a+8}{10}+a＜0}\\{\frac{a+8}{10}+a+3≥0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{38}{11}$≤a＜-$\frac{8}{11}$．

⑦当x≥$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3＜0时，
原式得：8x-1+3x-x-a+3-4=0，
解得：x=$\frac{2+a}{10}$，
代入⑦得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+a}{10}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{2+a}{10}+a≥0}\\{\frac{2+a}{10}+a+3＜0}\end{array}\right.$，
解得：无解．


⑧当x≥$\frac{1}{8}$，x+a≥0，x+a+3≥0时，
原式得：8x-1+3x+x+a-3-4=0，
解得：x=$\frac{8-a}{12}$
代入⑧得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8-a}{12}≥\frac{1}{8}}\\{\frac{8-a}{12}+a≥0}\\{\frac{8-a}{12}+a+3≥0}\end{array}\right.$
解得：-$\frac{8}{11}$≤a≤$\frac{13}{2}$．
综上所述：a的取值范围：a≤$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查了含有绝对值符号的一元二次方程，题目的难点在于含有双重绝对值符号，对学生的思考问题又增加了难度．同时不等式组的运算也是本题考查的重点．