Question

7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF∥AD交BC于点F，且BF²=BD•BC，联结FG．
（1）求证：FG∥CE；
（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理推出结论．
（2）连接AF交BE于O，根据两组对边分别平行得到四边形AGFE是平行四边形，由平行四边形的性质得到对角线互相平分，通过三角形相似，得到比例式，推出等积式，得到等腰三角形，利用三线合一得到对角线垂直，即得到结论．

解答 证明：（1）∵AD∥EF，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{BG}$，
∵BF²=BD•BC，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BF}$，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{BC}{BF}$，
∴FG∥CE；

（2）连接AF交BE于O，
∵AD∥EF，FG∥CE，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴AO=OF，
∵∠C=∠BAD，
∴△ABD∽△CAB，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
∴AB²=BD•BC，
∴AB²=BF²，
∴AB=BF，
∴BE⊥AF，
∴?AGFE是菱形．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，全是三角形的判定和性质，菱形的判定定理，作出辅助线连接AF是做题的关键．