Question

【题目】如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若∠BAO＝30°，CD＝2．

（1）求⊙O的半径；

（2）若点P在上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半径为2；（2）y＝x+2（0≤x≤2+3）．

【解析】

（1）题干要求⊙O的半径，做辅助线连结OB，利用AB是⊙O的切线，∠BAO＝30°，CD＝2．求出AB，进而OB＝AB，求出⊙O的半径.

（2）题干要求y与x之间的函数关系式以及自变量x的取值范围，寻找与x有关的条件，得到点P到直线BC的距离为x，分两部分求出阴影部分的面积，进而得到y与x之间的函数关系式以及自变量x的取值范围.

解：（1）连结OB，如图，

∵AB、CD是⊙O的切线，

∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，

∴∠ABO＝∠ACD＝90°，

∵∠BAO＝30°，

∴AD＝2CD＝2BD，

∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，

∴OB＝AB＝2，

即⊙O的半径为2；

（2）∵∠BAO＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∵点P到直线BC的距离为x，

∴△PBC的面积为×2×x＝x，

弓形BC的面积＝扇形COB的面积﹣△COB的面积

＝

＝2，

∴y＝x+2（0≤x≤2+3）．