Question

3．己知直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（x₁＜x₂），直线AB与x轴交于P（x₀，0），与y轴交于点C，猜想并用等式表示x₁，x₂，x₀之间的关系，请说明理由．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到m=x₁•y₁=x₂y₂，求得y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$，把A、B的坐标代入y=kx+b求得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，b=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，从而得出直线为y=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，令y=0，得到x₀=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，把y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$代入化简即可求得x₀=x₁+x₂．

解答 解：猜想：x₁，x₂，x₀之间的关系为x₁+x₂=x₀．
∵直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（x₁＜x₂），
∴m=x₁•y₁=x₂y₂，
∴y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$
∵直线y=ax+b经过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}k+b={y}_{1}}\\{{x}_{2}k+b={y}_{2}}\end{array}\right.$解得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，b=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∴直线为y=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
令y=0，则x₀=-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}•\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{x{{\;}_{2}y}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}}$=-$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=x₁+x₂．

点评 本题考查了待定系数法求解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，根据m=x₁•y₁=x₂y₂，得出y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$是解题的关键．