【题目】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点,使得的周长最小?若存在,请求出点的坐标:若不存在,请说明理由.注:二次函数的对称轴是直线.
【答案】(1);(2)存在,P坐标为时,周长最小.
【解析】
(1)根据OC=3,可知c=3,于是得到抛物线的解析式为y=-x2+bx+3,然后将A(-1,0)代入解析式即可求出b的值,从而得到抛物线的解析式;(2)由于BD为定值,则△BDP的周长最小,即BP+DP最小,由于点C和点D关于对称轴对称,∴连接BC交抛物线对称轴于点P,此时点P即为所求.
(1)∵
∴A(-1,0),C(0,3)
∴,抛物线
将代入得,
;
(2)存在,理由如下:
如图:的对称轴为
由于点A和点B关于对称轴对称
∴由对称性可知
由于B(0,3),D(2,3),所以根据勾股定理可知BD为定值,则BP+DP最小时,△BDP的周长最小,
由∵C(0,3),D(2,3)
∴C、D两点关于抛物线对称轴对称,即连接BC交直线x=1为点P,此时△BDP的周长最小.
设
把代入得
令得
点P坐标为时,最小,即周长最小.
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【题目】已知:抛物线y=﹣mx2+(2m﹣1)x+m2﹣1经过坐标原点,且开口向上
(1)求抛物线的解析式;
(2)结合图象写出,0<x<4时,直接写出y的取值范围 ;
(3)点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.当BC=1时,求出矩形ABCD的周长.
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【题目】超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加元,每天售出件.
(1)请写出与之间的函数表达式;
(2)当为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?
(3)设超市每天销售这种玩具可获利元,当为多少时最大,最大值是多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,抛物线y1的顶点在y轴上,y2由y1平移得到,它们与x轴的交点为A、B、C,且2BC=3AB=4OD=6,若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等,则这条直线的解析式为____________.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过以下三个点:(m,n),(m+2,2n),和(m+6,n),当抛物线上另有点的横坐标为m+4时,它的纵坐标为_____;当横坐标为m﹣2时,它的纵坐标为_____.
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【题目】在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写了﹣1,0,1三个数字,背面向上洗匀后随机抽取一张,将卡片上的数字记为a,然后放回,洗匀后再次随机取出一张,将卡片上的数字记为b,然后在平面直角坐标系中画出点M(a,b)的位置.
(1)请用树状图或列表的方法,写出点M所有可能的坐标;
(2)求点M在第二象限的概率.
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