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【题目】如图,抛物线轴交于两点,与轴交于点,且.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点,使得的周长最小?若存在,请求出点的坐标:若不存在,请说明理由.注:二次函数的对称轴是直线.

【答案】(1)(2)存在,P坐标为时,周长最小.

【解析】

1)根据OC=3,可知c=3,于是得到抛物线的解析式为y=-x2+bx+3,然后将A-10)代入解析式即可求出b的值,从而得到抛物线的解析式;(2)由于BD为定值,则BDP的周长最小,即BP+DP最小,由于点C和点D关于对称轴对称,∴连接BC交抛物线对称轴于点P,此时点P即为所求.

(1)

∴A(-1,0),C(0,3)

∴,抛物线

代入

(2)存在,理由如下:

如图:的对称轴为

由于点A和点B关于对称轴对称

∴由对称性可知

由于B(0,3),D(2,3),所以根据勾股定理可知BD为定值,则BP+DP最小时,BDP的周长最小,

由∵C(0,3),D(2,3)

CD两点关于抛物线对称轴对称,即连接BC交直线x=1为点P,此时BDP的周长最小.

代入得

P坐标为时,最小,即周长最小.

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