Question

11．如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O的直线EF，交BC于点F，交BC于点F，交AD于点E，连接AF，CE．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF⊥AC，试判断四边形AFCE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：四边形AFCE是菱形；理由如下：
理由是：由（1）△AOE≌△COF得：OE=OF
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴平行四边形AFCE是菱形．

点评 本题考查了矩形性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．