【题目】在△ABC中,点E、F在边BC上,点D在边AC上,连接ED、DF,=m,∠A=∠EDF=120°
(1)如图1,点E、B重合,m=1时
①若BD平分∠ABC,求证:CD2=CFCB;
②若,则= ;
(2)如图2,点E、B不重合.若BE=CF,=m,,求m的值.
【答案】(1)①见解析;②或;(2)m=.
【解析】
(1)①由三角形的外角性质和角平分线性质可得∠ABD=∠CDF=∠DBF,可证△CDF∽△CBD,可得,即可得结论;
②如图1,作辅助线,构建一线三等角,证明△ABD∽△HDF,得,即,设AD=x,则DH=11a﹣x,列方程解出可得x=5a或6a,代入可得结论;
(2)如图2,作辅助线,构建平行线和相似三角形,先证明△ABC∽△DFE,得∠DEC=∠C,所以DE=DC,设未知数,表示EH和CH的长,根据平行线分线段成比例定理由:m=代入可得结论.
(1)①∵,
∴AB=AC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBF,
∵∠BDC=∠A+∠ABD=∠BDF+∠CDF,且∠A=∠BDF=120°,
∴∠ABD=∠CDF=∠DBF,且∠C=∠C,
∴△CDF∽△CBD,
∴,
∴CD2=BCCF;
②如图1,过A作AG⊥BC于G,过F作FH⊥BC,交AC于H,
∵∠C=30°,
∴CH=2FH,
设FH=2a,CH=4a,则CF=2a,
∵,
∴BC=15a,
∵CG=a,
∴AG=a,AC=15a,
∴AH=11a,
∵∠BAD=∠BDF=∠DHF=120°,
∴∠ADB+∠FDH=∠ADB+∠ABD=180°﹣120°=60°,
∴∠ABD=∠FDH,
∴△BD∽△HDF,
∴,即,
设AD=x,则DH=11a﹣x,
∴30a2=x(11a﹣x),
x2﹣11ax+30a2=0,
(x﹣5a)(x﹣6a)=0,
x=5a或6a,
∴或,
故答案为:或;
(2)如图2,过E作EH∥AB,交AC于H,过D作DM⊥EH于M,过F作FG∥ED,交AC于G,
∵BE=CF,,
∴,
∵FG∥ED,
∴,
∴设CG=3a,DG=7a,
∵m,∠A=∠EDF=120°,
∴△ABC∽△DFE,
∴∠DEC=∠C,
∴DE=DC=10a,
∵FG∥DE,
∴∠GFC=∠DEF=∠C,
∴FG=CG=3a,
同理由(1)得:△EHD∽△DFG,
∴,即,
DH=,
Rt△DHM中,∠DHM=60°,
∴∠HDM=30°,
∴HM=DH=,DM=a,
∴EM=,
∴EH=﹣=,
∴m=.
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【题目】宁波与台州两城市之间开通了动车组高速列车.已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从宁波开往台州.如图所示,OA是第一列动车组列车离开宁波的路程s(单位:km)与运行时间t(单位:h)的函数图象,BC是一列从台州开往宁波的普通快车距宁波的路程s(单位:km)与运行时间t(单位:h)的函数图象.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)点B横坐标0.5的意义是普通快车的发车时间比第一列动车组列车的发车时间晚 h,点B的纵坐标300的意义是 ;
(2)若普通列车的速度为100km/h,
①求BC的解析式;
②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一个含有45°角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A(﹣3,﹣3)处,将其绕点A旋转,这个45°角的两边所在的直线分别交x轴、y轴的正半轴于点B,C,连接BC,函数(x>0)的图象经过BC的中点D,则k=_____.
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【题目】某校文体艺术节期间,举办“爱我云南,唱我云南”文艺晚会.每个班推荐一个节目参加晩会表演,参加晚会表演的节目均获奖,奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖,明明根据获奖情况绘制岀如图所示的两幅统计图.请你根据图中所给信息解答下列问题.
(1)二等奖的获奖人数所占的百分比是 ;
(2)在此次比赛中,一共有多少同学参赛?请将折线统计图补充完整.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,DG⊥EF于点H,交BC于点G,点P在线段BG上.若∠PEF=45°,AE=CG=5,PG=5,则EP=____.
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【题目】某水果公司新购进10000千克柑橘,每千克柑橘的成本为9元. 柑橘在运输、存储过程中会有损坏,销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘,进行“柑橘损坏率”统计,并把获得的数据记录如下:
柑橘总重量n/千克 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
损坏柑橘重量m/千克 | 5.50 | 10.50 | 15.15 | 19.42 | 24.25 | 30.93 | 35.32 | 39.24 | 44.57 | 51.54 |
柑橘损坏的频率 | 0.110 | 0.105 | 0.101 | 0.097 | 0.097 | 0.103 | 0.101 | 0.098 | 0.099 | 0.103 |
根据以上数据,估计柑橘损坏的概率为 (结果保留小数点后一位);由此可知,去掉损坏的柑橘后,水果公司为了不亏本,完好柑橘每千克的售价至少为________元.
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【题目】对于平面内的∠MAN及其内部的一点P,设点P到直线AM,AN的距离分别为d1,d2,称和这两个数中较大的一个为点P关于的“偏率” . 在平面直角坐标系xOy中,
(1)点M,N分别为x轴正半轴,y轴正半轴上的两个点.
①若点P的坐标为(1,5),则点P关于的“偏率”为____________;
②若第一象限内点Q(a,b)关于的“偏率”为1,则a,b满足的关系为____________;
(2)已知点A(4,0),B(2,),连接OB,AB,点C是线段AB上一动点(点C不与点A,B重合). 若点C关于的“偏率”为2,求点C的坐标;
(3)点E,F分别为x轴正半轴,y轴正半轴上的两个点,动点T的坐标为(t,4),是以点T为圆心,半径为1的圆. 若上的所有点都在第一象限,且关于的“偏率”都大于,直接写出t的取值范围.
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【题目】某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
类别 | A | B | C | D | E |
节目类型 | 新闻 | 体育 | 动画 | 娱乐 | 戏曲 |
人数 | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
请你根据以上的信息,回答下列问题:
(1)被调查的学生中,最喜爱体育节目的有 人,这些学生数占被调查总人数的百分比为 %.
(2)被调查学生的总数为 人,统计表中m的值为 ,统计图中n的值为 .
(3)在统计图中,E类所对应扇形圆心角的度数为 .
(4)该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱新闻节目的学生数.
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【题目】联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念。
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心。
举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心。
应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数。
探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长。
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