Question

【题目】联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数。

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。

Answer 1

【答案】∠APB=90°，PA=2或

【解析】解：应用：①若PB=PC，连接PB，

则∠PCB=∠PBC，

∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。

∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB。

与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC。

②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC。

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=AD =BD，∴∠APD=∠BPD=45°。∴∠APB=90°。

探究：∵BC=5，AB=3，∴AC=。

①若PB=PC，设PA=，则，∴，即PA=。

②若PA=PC，则PA=2。

③若PA=PB，由图知，

在Rt△PAB中，不可能。

∴PA=2或。

应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数。

探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解