【题目】已知△ABC,AB=AC,D为BC上一点,E为AC上一点,AD=AE.
(1)如果∠BAD=10°,∠DAE=30°,那么∠EDC= °.
(2)如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么∠BAD= °,∠CDE= °.
(3)设∠BAD=α,∠CDE=β猜想α,β之间的关系式,并说明理由.
【答案】(1)5(2)20,10(3)α=2β,理由见解析.
【解析】
(1)先求出∠BAC=40°,再利用等腰三角形的性质求出∠B,∠ADE,根据三角形外角的性质求出∠ADC,减去∠ADE,即可得出结论;
(2)先利用等腰三角形的性质求出∠DAE,进而求出∠BAD,即可得出结论;
(3)利用等腰三角形的性质和三角形外角和定理即可得出结论.
(1)∵∠BAD=10°,∠DAE=30°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE=40°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=70°.
∵AD=AE,∠DAE=30°,
∴∠ADE=∠AED=(180°﹣∠DAE)=75°.
∵∠B=70°,∠BAD=10°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°,
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=5°.
故答案为5;
(2)∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴∠BAC=60°,
∵AD=AE,∠ADE=70°,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°,
∴∠BAD=60°﹣40°=20°,
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°,
故答案为:20,10;
(3)猜想:α=2β.理由如下:
设∠B=x,∠AED=y,
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠C=∠B=x,∠ADE=∠AED=y.
∵∠AED=∠CDE+∠C,
∴y=β+x,
∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,
∴α+x=y+β=β+x+β,
∴α=2β.
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【题目】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水温降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时,接通电源后,水温y(℃)和时间(min)的关系如图,为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A.7:20
B.7:30
C.7:45
D.7:50
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【题目】联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念。
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心。
举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心。
应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数。
探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长。
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【题目】在如图所示的直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(-4,-1),B(1,1),C(-1,4);点是△ABC内一点,当点平移到点时.
①请写出平移后新三个顶点的坐标;
②求的面积.
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【题目】如图,点M是AB的中点,点P在MB上.分别以AP,PB为边,作正方形APCD和正方形PBEF,连结MD和ME.设AP=a,BP=b,且a+b=10,ab=20.则图中阴影部分的面积为________.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)若CD=6,求AC的长;
(2)求证:AB-AC=CD.
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【题目】如图,已知ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF经过点O,分别交AD,BC于点E,F,且OE=4,AB=5,BC=9,则四边形ABFE的周长是( )
A. 13 B. 16 C. 22 D. 18
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【题目】甲、乙、丙、丁一起研究一道数学题,如图,已知 EF⊥AB,CD⊥AB,甲说:“如果还知道∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB.”乙说:“如果还知道∠AGD=∠ACB,则能得到∠CDG=∠BFE.”丙说:“∠AGD 一定大于∠BFE.”丁说:“如果连接 GF,则 GF∥AB.”他们四人中,正确的是( )
A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个
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【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2=ABAD,我们称该四边形为“可分四边形”,∠DAB称为“可分角”.
(1)如图2,若四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且∠DCB=∠DAB,则∠DAB=°.
(2)如图3,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求证:四边形ABCD为“可分四边形”;
(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且AC=4,BC=2,∠D=90°,求AD的长?
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