Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P在线段BG上．若∠PEF＝45°，AE＝CG＝5，PG＝5，则EP＝____．

Answer 1

【答案】5．

【解析】

过点F作FM⊥AB于点M，连接PF、PM，则FM＝AD，AM＝DF，由ASA证明△MCE≌△CDG，得出ME＝CG＝5，得出AM＝DF＝10，证明E、M、P、F四点共圆，得出∠EPF＝∠FME＝90°，证出△PEF是等腰直角三角形，得出EP＝FP，证明△BPE≌△CFP，得出BE＝CP＝10，求出AB＝AE+BE＝15，BP＝5，在Rt△BPE中，由勾股定理即可得出结果．

过点F作FM⊥AB于点M，连接PF、PM，如图所示：

则FM＝AD，AM＝DF，∠FME＝∠MFD＝90°，

∵DG⊥EF，

∴∠MFE＝∠CDG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝DC＝AD，

∴FM＝DC，

在△MCE和△CDG中，，

∴△MCE≌△CDG（ASA），

∴ME＝CG＝5，

∴AM＝DF＝10，

∵CG＝PG＝5，

∴CP＝10，

∴AM＝CP，

∴BM＝BP，

∴△BPM是等腰直角三角形，

∴∠BMP＝45°，

∴∠PMF＝45°，

∵∠PEF＝45°＝∠PMF，

∴E、M、P、F四点共圆，

∴∠EPF＝∠FME＝90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴EP＝FP，

∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠BPE+∠CPF＝90°，

∴∠BEP＝∠CPF，

在△BPE和△CFP中，，

∴△BPE≌△CFP（AAS），

∴BE＝CP＝10，

∴AB＝AE+BE＝15，

∴BP＝5，

在Rt△BPE中，由勾股定理得：EP＝＝5；

故答案为：5．