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【题目】1)(操作发现):如图一,在矩形ABCD中,EBC的中点,将ABE沿AE折叠后得到AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AFCD于点G.猜想线段GFGC的数量关系是   

2)(类比探究):如图二,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

3)(应用):如图三,将(1)中的矩形ABCD改为正方形,边长AB4,其它条件不变,求线段GC的长.

【答案】1)点EBC的中点时,GFGC,理由见解析;(2)成立,理由见解析;(3CG1

【解析】

1)根据翻折的性质得出BE=EF,∠B=EFA,利用三角形全等的判定得ECG≌△EFG,即可得出答案;
2)利用平行四边形的性质,首先得出∠C=180°-D,∠EFG=180°-AFE=180°-B=180°-D,进而得出∠ECG=EFG,再利用EF=EC,得出∠EFC=ECF,即可得出答案.
3)设GF=GC=x,则 AG=4+xDG=4-x,在RtADG中利用勾股定理列出关于x的方程,解之可得.

1)点EBC的中点时,GFGC

证明:如图一,连接EG

EBC的中点,

BECE

∵将ABE沿AE折叠后得到AFE

BEEF

EFEC

EGEG,∠C=∠EFG90°

∴△ECG≌△EFGHL),

FGCG

故答案为:FGCG

2)(1)中的结论仍然成立.

证明:如图二,连接FC

EBC的中点,

BECE

∵将ABE沿AE折叠后得到AFE

BEEF,∠B=∠AFE

EFEC

∴∠EFC=∠ECF

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴∠B=∠D

∵∠ECD180°﹣∠D,∠EFG180°﹣∠AFE180°﹣∠B180°﹣∠D

∴∠ECD=∠EFG

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF

∴∠GFC=∠GCF

FGCG

即(1)中的结论仍然成立;

3)设GFGCx,则 AG4+xDG4x

RtADG中,(4+x2=(4x2+42

解得:x1

CG1

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