Question

3．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线．垂足分别为点E，F，G．若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为12．

Answer 1

分析 过点D作DH⊥CF，垂足为H，根据正方形的性质证明△ABE与△BCF全等，AE=BF=2，再证明△BCE与△CDH全等，得到CH=BF=2，然后证明四边形FHDG是矩形，得到DG=FH=4，从而求得DG的值，即可得解．

解答 解：如图，过点D作DH⊥CF，垂足为H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF．
在△ABE与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC=90°}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF+∠DCH=90°，∠HDC+∠DCH=90°，
∴∠BCF=∠HDC，
在△BCE与△CDH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠HDC}\\{∠BFC=∠DHC=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CDH（AAS）
∴CH=BF=2
∴FH=CF-CH=6-2=4．
∵CF⊥L，DG⊥L，DH⊥CF，
∴∠BFC=∠DHC=∠DGB=90°，
∴四边形FHDG是矩形，
∴DG=FH=4，
即CF+AE+DG=6+2+4=12．
故答案填12．

点评 此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，灵活运用三角形的判定方法，寻找对应边和对应角是解决问题的关键．