Question

12．如图，已知AE平分∠BAC，ED垂直平分BC，EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别是点F、G．求证：
（1）BG=CF；  
（2）AB=AF+CF．

Answer 1

分析 （1）连接CE、BE，根据线段垂直平分线的性质得到EC=EB，根据角平分线的性质得到EF=EG，于是证得Rt△CFE≌Rt△BGE，即可得到结论；
（2）根据AE平分∠BAC，EF⊥AC，EG⊥AB，得到EF=EG，证得Rt△AGE≌Rt△AFE，得到AG=AF，于是得到结论．

解答 证明：（1）连接CE、BE，
∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB，
∵AE平分∠CAB，EF⊥AC，EG⊥AB，
∴EF=EG，
在Rt△CFE和Rt△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}EC=EB\\ EF=EG\end{array}\right.$，
∴Rt△CFE≌Rt△BGE，
∴BG=CF；

（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EG⊥AB，
∴EF=EG，
在Rt△AGE和Rt△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EG=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGE≌Rt△AFE，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．