Question

1．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=6，BC=8，E是边AD上的点，以CE为折痕折叠纸片，使点D落在点F处，连接FC，当△AEF为直角三角形时，DE的长为3或6．

Answer 1

分析 如图1，所示，由∠CFE+∠AFE=180°，可知点A、F、C在一条直线上，先求得AC的长，然后由△AEF∽△ACD可求得ED的长；如图2所示，可证明四边形CDEF为正方形从而可求得ED的长．

解答 解：如图1所示：

由翻折的性质可知：EF=ED，∠EFC=∠EDC=90°，
∵△AEF为直角△，
∴∠AFE=90°．
∴∠CFE+∠AFE=180°．
∴点A、F、C在一条直线上．
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
设DE=x，则EF=x．
∵∠EAF=∠DAC，∠EFA=∠CDA，
∴△AEF∽△ACD．
∴$\frac{EF}{DC}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{x}{6}=\frac{8-x}{10}$．
解得：x=3．
∴ED=3．
如图2所示：

∵∠AEF=90°，
∴∠FED=90°．
∴∠FED=∠D=∠DCF=90°．
∴四边形CDEF为矩形．
由翻折的性质可知：DE=EF．
∴四边形CDEF为正方形．
∴DE=DC=6．
综上所述，ED的长为3或6．
故答案为：3或6．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、矩形、正方形的性质和判定，根据题意画出图形是解题的关键．