Question

已知关于x的一元二次方程x²(2k+3)x+ k²+3k+2=0

（1）试判断上述方程根的情况．

（2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

（3）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．

①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

②当k为何值时，△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长．

   

Answer 1

(1)由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1,方程有两个不相等的实数根（2分）

(2) 设方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的两个根为，，根据题意得．  （3分）

又由一元二次方程根与系数的关系得，                 （4分）

，                                      （5分）

所以，当k＝时,m取得最小值                                   （6分）

(3)①x₁=k +1，x₂=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2． 斜边BC=5时，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25                                                    （7分）

解得k₁=2，k₂=5(舍去)                                               （8分）

 当k=2 时，△ABC是直角三角形                                       （9分）

（此题也可用根与系数关系来解）

② AB=k+1，AC=k+2，BC=5,   由（1）知AB≠AC                       （10分）

故有两种情况：

（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，k=3．也可用根的定义代入求解             （11分）

5、5、4能组成三角形△ABC的周长为5+5+k+1=14                 （12分）

（Ⅱ）当AB=BC=5时，k+1=5，k=4．5、5、6能组成三角形△ABC的周长为5+5+k+2=16．

故△ABC的周长分别是14和16