Question

2．在矩形纸片ABCD中，AB=16，AD=12，点P在边AB上，若将△DAP沿DP折叠，使点A恰好落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长可能为②④．（把所有正确结论的序号都选上）
①5；②6；③8；④9．

Answer 1

分析 分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

解答 解：，①点A落在矩形对角线BD上，如图1，
∵AB=16，BC=12，
∴BD=20，
根据折叠的性质，AD=A′D=12，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=8，
设AP=x，则BP=16-x，
∵BP²=BA′²+PA′²，
∴（16-x）²=x²+8²，
解得：x=6，
∴AP=6；
②点A落在矩形对角线AC上，如图2，
根据折叠的性质可知DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AB}{BC}$，
AP=$\frac{AD•BC}{AB}$=9，
故答案为：②④．

点评 本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．