Question

18．某商品现在的售价为每件60元，每个月可卖出100件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每个月可卖出1件，每涨价1元，每个月要少卖出2件，已知商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元，且不高于80元，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（3）当每件商品的售价高于60元，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？

Answer 1

分析 （1）设售价为x元，利润为y，降价时，则每件的利润是（x-40）元，所售件数是[100+（60-x）]件，总利润为y₁；根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式；涨价时，则每件的利润是（x-40）元，所售件数是[100-2（x-60）]件，总利润为y₂；
（2）根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大；
（3）令y₁=2250和y₂=2250解一元二次方程即可．

解答 解：（1）设售价为x元，利润为y，
则y₁=（x-40）[100+（60-x）]
=-x²+200x-6400．
y₂=（x-40）[100-2（x-60）]
=-2x²+240x-6400
∵售价每件不低于50元，且不高于80元，
∴50≤x≤80，
（2）y₁=-x²+200x-6400=-（x-100）²+3600．
∵50≤x≤80，-1＜0，
∴当x=80时，y的最大值为3200．
y₂=-2x²+240x-6400=-2（x-60）²+800．
∴当x=60时，y的最大值为800．
综上所述，当x=80时，y的最大值为3200．
（3）令y₁=2250，则2250=-（x-100）²+3600，
整理得：（x-100）²=1350，
x=100±15$\sqrt{6}$
∴当x=100-15$\sqrt{6}$≈63.25，
令y₂=2250，则2250=-2x²+240x-6400，
整理得：x²-120x+4325=0
△=14400-17300＜0，
故此方程无解．
∴当每件商品的售价高于60元，定价为63.25元使得每个月的利润恰为2250元．

点评 本题考查了二次函数的应用；得到每月卖出商品的件数是解决本题的难点；得到月获得总利润的关系式是解决本题的关键．