Question

11．若α、β是方程x²-3x+1=0的两根，则2α²+4β²-6β+2004=2016．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程解的定义得到α²-3α+1=0，β²-3β+1=0，即α²=3α-1，β²=3β-1，则2α²+4β²-6β+2004可化简为6（α+β）+1998，然后根据根与系数的关系得到α+β=3，再利用整体代入得方法计算即可．

解答 解：∵α、β是方程x²-3x+1=0的两根，
∴α²-3α+1=0，β²-3β+1=0，
∴α²=3α-1，β²=3β-1，
∴2α²+4β²-6β+2004=2（3α-1）+4（3β-1）-6β+2004=6（α+β）+1998，
而α、β是方程x²-3x+1=0的两根，
∴α+β=3，
∴2α²+4β²-6β+2004=6×3+1998=2016．
故答案为2016．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．