Question

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．
（1）若FD=2，$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{3}$，求线段DC的长；
（2）求证：EF•GB=BF•GE．

Answer 1

分析 （1）由平行线得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例求出FC，即可得出DC的长；
（2）由平行线得出△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，得出对应边成比例$\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AE}{BC}=\frac{GE}{GB}$，由已知条件得出AE=DE，因此$\frac{EF}{BF}=\frac{GE}{GB}$，即可得出结论．

解答 （1）解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{ED}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC=3FD=6，
∴DC=FC-FD=4；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AE}{BC}=\frac{GE}{GB}$，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{GE}{GB}$，
∴EF•GB=BF•GE．

点评 本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．