Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN-ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接PB，请探究：在抛物线上是否存在一点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得N在直线OM上，根据解方程组，可得答案；
（3）根据平行线间的距离相等，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得Q点坐标，再根据BC向下平移BC与l₁相距的单位，可得l₂，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）将A、B两点代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
（2）存在点N使得|MN-ON|的值最大．过程如下：
如图1：

作直线OM交抛物线于两点，则两交点即为N点，
y=-x²+2x+3的对称轴为x=1．
设BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，即M（1，2）．
设直线OM的解析式为y=kx，将M（1，2）代入函数解析式，得
k=2．
直线OM的解析式为y=2x．
联立抛物线与直线OM的解析式，可得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=2x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴存在点N，其坐标为N₁（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），N₂（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）
（3）如图2：
，
由题意可得：P（1，4），直线BC的解析式为y=-x+3
∵S_△QMB=S_△PMB，
∴点Q在过点P且平行于BC的直线l₁上，设其交点为Q₁；或在BC的下方且平行于BC的直线l₂上，设其交点为Q₂，Q₃，
∴设l₁的解析式为y=-x+b
把点P的坐标代入可得：b=5
∴设l₁的解析式为y=-x+5
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（不符合题意，舍），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴Q₁（2，3）．
根据对称性可求得直线l₂的解析式为y=-x+1
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$
∴Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），Q₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），
综上所述，满足条件的点Q共有3个，其坐标分别为Q₁（2，3），Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），Q₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用同一条直线上两线段的差最大得出N在直线OM上是解题关键；利用平行线间的距离相等得出Q在过P点平行于BC的直线上是解题关键，注意BC下方距的距离是BC与l₁相距的单位l₂上存在符合条件的点，以防遗漏．