Question

小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

（1）取特殊情况，探索讨论：当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出图形，并直接写出结果）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠D=∠DEB=30°，得到DB=BE，运用AE=BE，即可解决问题．
（2）如图（3），证明△EFC≌△DBE，得到EF=DB；证明AE=EF，即可解决问题．
（3）如图（4）或（5），作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD=EF；求出EF的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）AE=DB．

（2）如图3，∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC；在△EFC与△DBE中，

∠FEC=∠D ∠EFC=∠DBE EC=DE

，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，AE=BD．

（3）如图4，当点E在AB的延长线上时，
过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F；
则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF；
∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE；
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC；而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF；
在△BDE与△FEC中，

∠D=∠CEF ∠DBE=∠EFC DE=CE

，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF；
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如图5，当点E在BA的延长线上时，
过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1
∴CD=2-1=1．

点评：该题以等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、判断、解答．