Question

如图，△ABC为等边三角形，边长为4，F为BC边上一个动点（不与B，C重合），DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分别为D和E．
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）设BF=m，四边形ADEF面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．

解答：（1）求证：∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）解：∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°=

DF

BF

=

3

2

，cos60°=

BD

BF

=

1

2

．
∵BF=m，
∴DF=

3

2

m，BD=

1

2

m．
∵AB=4，
∴AD=4-

1

2

m．
∴S_△ADF=

1

2

AD•DF
=

1

2

×（4-

1

2

m）×

3

2

m
=-

3

8

m²+

3

m．
同理：S_△AEF=AE•EF=-

3

8

m²+2

3

．  
∴S=S_△ADF+S_△AEF
=-

3

4

m²+

3

m+2

3

=-

3

4

（m²-4m-8）
=-

3

4

（m-2）²+3

3

                      
∴当m=2时，S取最大值，最大值为3

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、等边三角形的性质等知识，综合性强，灵活掌握并运用基础知识解决问题．