Question

【题目】如图，圆是锐角的外接圆，是弧的中点，交于点，的平分线交于点，过点的切线交的延长线于点，连接，则有下列结论：①点是的重心；②；③；④，其中正确结论的序号是__________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

根据三角形重心的定义，即可判断①；连接OD，根据垂径定理和切线的性质定理，即可判断②；由∠ACD=∠BAD，∠CAF=∠BAF，得∠AFD=∠FAD，若，可得∠EAF=∠ADF=∠BAC，进而得，即可判断③；易证ACD~EAD，从而得，结合DF=DA，即可判断④．

∵是弧的中点，

∴∠ACD=∠BCD，即：CD是∠ACB的平分线，

又∵AF是的平分线，

∴点F不是的重心，

∴①不符合题意，

连接OD，

∵是弧的中点，

∴OD⊥AB，

∵PD与圆相切，

∴OD⊥PD，

∴，

∴②符合题意，

∵是弧的中点，

∴∠ACD=∠BAD，

∵AF是的平分线，

∴∠CAF=∠BAF，

∴∠CAF+∠ACD =∠BAF+∠BAD，即：∠AFD=∠FAD，

若，则∠AFD=∠AEF，

∴∠AFD=∠AEF=∠FAD，

∴∠EAF=∠ADF=∠BAC，

∴．

即：只有当时，才有．

∴③不符合题意，

∵∠ACD=∠BAD，∠D=∠D，

∴ACD~EAD，

∴，

又∵∠AFD=∠FAD，

∴DF=DA，

∴，

∴④符合题意．

故答案是：②④．